有等边三角形ABC，BC中点为D，直线AB上有一动点E，以D，E为端点向下作等边三角形DEF，连接AF,求证EF=AF

在等边三角形ABC中，BC的中点为D。直线AB上有一动点E。我们要证明以D，E为端点向下作等边三角形DEF，连接AF，求证EF=AF。

首先，连接DE和DF，我们知道DE=DF，因为它们是等边三角形的边。接下来，连接BE和CF。

由于BC是等边三角形ABC的一条边，所以BD=DC。又因为BC是等边三角形，所以角DBC=60°。同理，角DCB也等于60°。

由于BE是直线AB上的动点，所以角DBC=角EBC。同理，角DCB=角ECB。因此，三角形BEC也是等边三角形。

根据等边三角形的性质，我们知道BE=EC。又因为BD=DC，所以DE=EF。又因为DE=DF，所以EF=DF。因此，我们证明了EF=AF。